Persamaan Kuadrat Materi SMA (SBMPTN)
Download di sini :
INPUT FILE:
\documentclass[12pt, linux libertine, a4paper]{article}\usepackage{amsmath}\usepackage{txfonts}\usepackage[colorlinks, citecolor=red, urlcolor=red]{hyperref}\begin{document}\author{\small \textit{Moh. Febri Rikza Azkal Umam}}\title{\Huge \textbf{Persamaan Kuadrat}}\date{\small 13 Juli 2020\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.}\maketitle\newpage\section{Bentuk Umum Persamaan Kuadrat (PK)}Bentuk umum PK ialah sebagai berikut:$$ax^2+bx+c=0$$\begin{center}dan\end{center}$$a\neq0$${\footnotesize \textit{*Dengan $a, b$ adalah koefisien dan $c$ adalah konstanta.}}\\Apabila $a=0$, maka tidak disebut PK lagi, melainkan persamaan linear satu variabel. Contoh:\begin{align*}0.x^2+3x-3&=0\\\0+3x-3&=0\\\3x-3&=0\end{align*}\section{Diskriminan (D)}Diskriminan berfungsi untuk menentukan sifat akar-akar dalam PK. Rumus Diskriminan:\begin{center}$\textbf{D}=b^2-4ac$\end{center}Sifat-sifat akar terjadi:\begin{itemize}\item Jika $D>0$, maka PK memiliki akar-akar \textit{real} dan berbeda.\item Jika $D=0$, maka PK memiliki akar-akar \textit{real} dan sama/kembar.\item Jika $D<0$, maka PK memiliki akar-akar \textit{imajiner} atau tidak \textit{real}.\end{itemize}\section{Menentukan Akar-akar PK}Dalam menentukan akar-akar PK dapat dicari dengan cara berikut:\\\begin{enumerate}\item[\textbf{1.)}]{\large \textbf{Pemfaktoran}}\begin{itemize}\item[\textbf{a.}] \textbf{a = 1}\\Jika $a=1$, maka cara mencari akar-akarnya ialah sebagai berikut:\begin{center}\begin{align*}x^2+bx+c&=0\\\x^2+(p+q)x+pq&=0\\\(x+p)(x+q)&=0\\\x+p=0~atau~x+q&=0\\\x_1=-p~atau~x_2=&-q\end{align*}\end{center}\begin{scriptsize}\textit{{\small \textbf{*Keterangan:}\begin{align*}&\star~p+q=b&\star~x_1~(akar~ke~1)=-p\\\&\star~pq=c&\star~x_2~(akar~ke~2)=-q\end{align*}}}\end{scriptsize}Contoh:\begin{center}\begin{align*}x^2+3x-4&=0\\\x^2+(-1+4)x+(-1)(4)&=0\\\(x+(-1))(x+4)&=0\\\(x-1))(x+4)&=0\\\x-1=0~atau~x+4&=0\\\x_1=1~atau~x_2=&-4\end{align*}\end{center}\item[\textbf{b.}] \textbf{a~$>$~1 atau a~$<$~-1}\\Jika $a>1$ atau $a<-1$, maka cara mencari akar-akarnya ialah sebagai berikut:\begin{center}\begin{align*}ax^2+bx+c&=0\\\\frac{(ax+p)(ax+q)}{a}&=0\\\ax+p=0~atau~\frac{ax+q}{a}&=0\\\ax=-p~atau~x+\frac{q}{a}&=0\\\x_1=\frac{-p}{a}~atau~x_2=\frac{-q}{a}\end{align*}\end{center}\begin{scriptsize}\textit{{\small \textbf{*Keterangan:}\begin{align*}&\star~p+q=b &\star~x_1~(akar~ke~1)=\frac{-p}{a}\\&\star~pq=ca &\star~x_2~(akar~ke~2)=\frac{-q}{a}\end{align*}}}\end{scriptsize}Contoh:\begin{center}\begin{align*}3x^2+4x-4&=0\\\\frac{(3x+(-2))(3x+6)}{3}&=0\\\\frac{(3x-2)(3x+6)}{3}&=0\\\(3x-2)~.~\frac{(3x+6)}{3}&=0\\\(3x-2)(x+2)&=0\\\3x-2=0~atau~x+2&=0\\\3x=2~atau~x=-&2\\\x_1=\frac{2}{3}~atau~x_2=&-2\end{align*}\end{center}\item[\textbf{c.}] \textbf{c = 0}\\Jika $c=0$, maka cara mencari akar-akarnya ialah sebagai berikut:\begin{center}\begin{align*}ax^2+bx&=0\\\x(ax+b)&=0\\\x=0~atau~ax+b&=0\\\x_1=0~atau~x_2=&\frac{-b}{a}\end{align*}\end{center}\begin{scriptsize}\textit{{\small \textbf{*Keterangan:}\begin{align*}\star~x_1~(akar~ke~1)=0~~~~~~\star~x_2~(akar~ke~2)=\frac{-b}{a}\end{align*}}}\end{scriptsize}Contoh:\begin{center}\begin{align*}x^2+3x&=0\\\x(x+3)&=0\\\x=0~atau~x+3&=0\\\x=0~atau~x=&\frac{-3}{1}\\\x_1=0~atau~x_2=&-3\end{align*}\end{center}\end{itemize}\item[\textbf{2.)}]{\large \textbf{Rumus \textit{"ABC"}}}\\Rumusnya ialah sebagai berikut:\begin{center}\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\\x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}\end{center}Contoh:\\1.) Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^2-8x+6=0$ !\\\textit{\textbf{Jawab:}}\\Diketahui diskriminannya lebih dari 0 ($D>0$), maka akar-akarnya \textit{real} dan berbeda. Maka:\begin{center}\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\\&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\&=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4.1.6}}{2.1}\\\&=\frac{8\pm\sqrt{64-24}}{2}\\\&=\frac{8\pm\sqrt{40}}{2}\\\&=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{2}\\\\x_1=\frac{8+2\sqrt{10}}{2}~a&tau~x_2=\frac{8-2\sqrt{10}}{2}\\\x_1=4+\sqrt{10}~a&tau~x_2=4-\sqrt{10}\end{align*}\end{center}\end{enumerate}\section{Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Akar-akar PK}Apabila $\alpha$ dan $\beta$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka rumusnya ialah:\begin{center}\begin{align*}&\bullet~~\alpha+\beta=\frac{-b}{a}\\\\&\bullet~~\alpha.\beta=\frac{c}{a}\\\\&\bullet~~\alpha-\beta=\pm\frac{\sqrt{D}}{a}\end{align*}\end{center}Contoh:\\1.) Akar-akar dari persamaan $3x^2-6x+2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Tentukan nilai dari $\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} =$...\\\textit{\textbf{Jawab:}}\\$\ast$ ditanya:$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = \frac{2\beta~+~2\alpha }{\alpha\beta} = \frac{2(\beta~+~\alpha)}{\alpha\beta}$\\Dari bentuk tersebut, kita dapat mencari penjumlahan ($\alpha+\beta$) dan perkalian ($\alpha\beta$) akar-akarnya.\begin{center}\begin{align*}\bullet~~\alpha+\beta&=\frac{-b}{a}\\\&=\frac{-(-6)}{3}\\\&=\frac{6}{3}\\\&=2\\\\\bullet~~\alpha.\beta=&\frac{c}{a}\\\=&\frac{2}{3}\end{align*}\end{center}Lalu, kita substitusikan nilai yang diketahui ke dalam bentuk $\frac{2(\beta~+~\alpha)}{\alpha\beta}$, maka:\begin{center}\begin{align*}\frac{2(\beta~+~\alpha)}{\alpha\beta}&=\frac{2~.~2}{\frac{2}{3}}\\\&=4:\frac{2}{3}\\\&=4~.~\frac{3}{2}\\\&=6\end{align*}\end{center}\newpage\begin{center}*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\\textbf{{\Large $-SELESAI-$}}\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\\*\end{center}\newpage\subsection*{Latihan Soal}\subsubsection*{Level 1}\begin{enumerate}\item[\textbf{1.)}]Tentukan nilai akar-akar dari persamaan $x^2+4x-12=0$ !\begin{itemize}\item[a.] $3$ atau $-7$\item[b.] $2$ atau $-6$\item[c.] $-2$ atau $6$\item[d.] $-3$ atau $7$\item[e.] $-5$ atau $1$\end{itemize}\item[\textbf{2.)}] Persamaan $2x^2+7x=0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$. Tentukan nilai $p$ dan $q$ !\begin{itemize}\item[a.] $0$ dan $-3\frac{1}{2}$\item[b.] $0$ dan $\frac{7}{2}$\item[c.] $1$ dan $-3\frac{1}{2}$\item[d.] $2$ dan $7$\item[e.] $-2$ dan $-7$\end{itemize}\item[\textbf{3.)}] $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan $x^2-5x+4=0$. Berapakah nilai dari $x_1 + x_2$ ?\begin{itemize}\item[a.] $-5$\item[b.] $-3$\item[c.] $5$\item[d.] $3$\item[e.] $-6$\end{itemize}\item[\textbf{4.)}] Akar-akar dari persamaan $4x^2-px+3=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Apabila $\alpha+\beta=3$. Berapa nilai $p$ ?\begin{itemize}\item[a.] $6$\item[b.] $12$\item[c.] $8$\item[d.] $-8$\item[e.] $-12$\end{itemize}\end{enumerate}\subsubsection*{Level 2}\begin{enumerate}\item[\textbf{5.)}]Tentukan nilai positif akar-akar dari persamaan $3x^2-12x=0$ !\begin{itemize}\item[a.] $0$\item[b.] $4$\item[c.] $-4$\item[d.] $-3$\item[e.] $3$\end{itemize}\item[\textbf{6.)}] Persamaan $2x^2+8x-5=0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$. Apabila $p<q$, tentukan nilai $p-q$ !\begin{itemize}\item[a.] $2\sqrt{26}$\item[b.] $\sqrt{26}$\item[c.] $-\sqrt{26}$\item[d.] $-\sqrt{52}$\item[e.] $\sqrt{52}$\end{itemize}\item[\textbf{7.)}] Akar-akar dari persamaan $7x^2-5x+2=x^2-3$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Berapakah nilai dari $\frac{3}{x_1x_2}\left(\frac{5}{x_1}+\frac{5}{x_2}\right)$ ?\begin{itemize}\item[a.] $\frac{18}{5}$\item[b.] $-\frac{18}{5}$\item[c.] $-18$\item[d.] $\frac{6}{5}$\item[e.] $18$\end{itemize}\end{enumerate}\subsubsection*{Level 3}\begin{enumerate}\item[\textbf{8.)}] Diketahui sebuah persamaan $\frac{2x^2-6x+6}{2x-4}=\Gamma$ memiliki akar-akar real yang sama/kembar. Maka nilai $\Gamma$ adalah ...\begin{itemize}\item[a.] $1$ atau $3$\item[b.] $-1$ atau $3$\item[c.] $-3$ atau $1$\item[d.] $-3$ atau $-1$\item[e.] $-1$ dan $3$\end{itemize}\item[\textbf{9.)}] Persamaan $3x^2-px+q=0$ memiliki akar-akar $a$ dan $b$. Apabila $a+b=7$ dan $ab=1$. Berapa nilai dari $\frac{3p+2q}{q}$ ?\begin{itemize}\item[a.] $-20$\item[b.] $23$\item[c.] $-23$\item[d.] $-\sqrt{23}$\item[e.] $\sqrt{23}$\end{itemize}\item[\textbf{10.)}] Jika $c$ dan $d$ adalah solusi dari persamaan $\sqrt{5x+4}=2\sqrt{x}-1$. Maka nilai dari $c^2+2cd+d^2=$ ...\begin{itemize}\item[a.] $676$\item[b.] $520$\item[c.] $726$\item[d.] $-726$\item[e.] $-520$\end{itemize}\end{enumerate}\begin{center}\begin{align*}---~~SEMOGA~BERMANFAAT~~---\end{align*}\end{center}\pagebreakApabila terdapat kesalahan dalam penulisan ataupun hal lainnya, saya mohon maaf, saya hanya manusia yang bisa salah dan bisa benar, jika anda ingin memberikan masukan bisa menghubungi:\\\begin{center}\href{https://www.instagram.com/febri.rikza15/}{IG} $\thicksim$ \href{https://mail.google.com/mail/u/1/#inbox}{Email} $\thicksim$ \href{https://wa.me/6288230506235}{WA}\end{center}\end{document}
Comments
Post a Comment